Question

如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x2+x﹣5，A（﹣5，0）；（2）Q坐标（﹣4，﹣）；（3）存在，点M的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．

【解析】

（1）将点B的坐标、点C的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值，结合抛物线解析式求得点A的坐标；

（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF=，列出方程即可解决问题．

（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，设点Q（m，m2+m-5）则点P（m+1，m2+m-6），代入抛物线解析式，解方程即可．

（1）∵抛物线上的点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣5）

∴将其代入y═x2+bx+c，得，

解得b＝，c＝﹣5．

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣5．

令y=0可得x=3或-5

∴点A的坐标是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），

则AF＝m+5，AE＝EM＝m+6，FG＝（m+5），FM＝，

∵sin∠AMF＝，

∴，

∴，

整理得到2m2+19m+44＝0，

∴（m+4）（2m+11）＝0，

∴m＝﹣4或﹣5.5（舍弃），

∴点Q坐标（﹣4，﹣）．

（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），

∵直线AC解析式为y＝﹣x﹣5，

∴点N（m，﹣m﹣5），点M（m+1，﹣m﹣6），

∵QN＝PM，

∴﹣m﹣5﹣（m2+m﹣5）＝[（m+1）2+（m+1）﹣5]﹣（﹣m﹣6），

解得m＝﹣3+或﹣3﹣（舍弃），

此时M（﹣2+，﹣3﹣），

当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F（m，0）．

∴（m2+m﹣5）﹣（﹣m﹣5）＝（﹣m﹣6）﹣[（m+1）2+（m+1）﹣5]，

解得m＝﹣3﹣或﹣3+（舍弃），

此时M（﹣2﹣，﹣3+）；

②当MN为边时，设点Q（m，m2+m﹣5）则点P（m+1，m2+m﹣6），

∵NQ＝PM，

∴m2+m﹣6＝（m+1）2+（m+1）﹣5

解得m＝﹣3．

∴点M坐标（﹣2，﹣3），

综上所述，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．