Question

如图，ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD＝DE．

（1）如图，若点D为线段AC的中点，求证：AD＝CE；

（2）如图，若点D为线段AC上任意一点，求证：AD＝CE.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数，根据BD=DE即可解题；
（2）作DF∥AB，可证△BDF≌△EDC，可得BF=CE，再证AD=BF即可解题．

（1）∵点D为等边三角形△ABC边AC的中点，

∴BD平分∠ABC，AD=DC

∴∠DBE=30°，

∵BD=DE，

∴∠E=∠DBE=30°，

∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，

∴∠CDE=180°-120°-30°=30°，

∴∠CDE=∠E =30°∴DC=CE

∴AD=CE；………………4分

（2）作DF∥AB，可得△DFC是等边三角形，∴DC=CF

∴AC-DC=BC-CF ∴AD=BF

在△BDF和△EDC中，

∴△BDF≌△EDC，（AAS）

∴BF=CE，

∴AD=CE．