Question

如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S_{四边形APQC}＝2S_△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③

Answer

A

【解析】

①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，延长即可解决问题;
②正确．首先证明AC=AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题;
③正确．只要证明AP+CQ=AC即可解决问题．

【解析】
如图延长CE交AB于K．

∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，

，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S△QCE=S△PEK，
∴S四边形APQC=S△ACK=2S△ACE，故②正确，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选：A．