Question

如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

Answer

PC与PD相等.

【解析】

先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．

PC与PD相等．理由如下：

过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．

∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，

∴四边形OEPF为矩形，

∴∠EPF=90°，

∴∠EPC+∠CPF=90°，

又∵∠CPD=90°，

∴∠CPF+∠FPD=90°，

∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF．

在△PCE与△PDF中，

∵，

∴△PCE≌△PDF（ASA），

∴PC=PD．