Question

（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，若a＝120°，且△ACF为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）△DEF为等边三角形。

【解析】

（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案;
（3）证△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF为等边三角形．

证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

∵，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠CAE＝∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

∵，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE．

（3）△DEF为等边三角形，理由如下：

由（2）知△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠CAF＝60°，AF＝AC，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AF，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAF＝60°，

∴△ABF是等边三角形，

∴∠ABF＝60°，BF＝AF，

∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF＝∠EAF，

∵BF＝AF，

∴△BDF≌△AEF（AAS），

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，

∴△DEF为等边三角形．