Question

如图，Rt△AOB的顶点O与原点重合，直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，3），直线与x轴、y轴分别交于点D、E，交OB于点F.

(1)写出图中的全等三角形及理由；

(2)求OF的长.

Answer

（1）△AOB≌△OED，理由见解析；（2）OF=.

【解析】

（1）先求出D、E两点的坐标，进而可得出OD、OE的长，再由B点坐标可得出OA，AB的长，由此可得出结论；
（2）先根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠OED，再由余角的定义得出OF⊥ED，由勾股定理得出ED的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．

（1）△AOB≌△OED．

理由：∵y=-x+4与x轴、y轴分别交于点D、E，

∴D（3，0），E（0，4），

∴OD=3，OE=4．∵B（4，3），∴OA=4，AB=3．

在△AOB与△OED中，

∵，

∴△AOB≌△OED（SAS）；

（2）∵△AOB≌△OED，

∴∠AOB=∠OED．

∵∠AOB+∠EOF=90°，

∴∠OED+∠EOF=90°，

∴∠OFE=90°，

∴OF⊥ED．

在Rt△ODE中，ED===5

∵S△ODE=OD•OE=DE•OF=6，

∴OF=.