Question

阅读材料后解决问题：

小明遇到下面一个问题：

计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）．

经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）

=（2+1）（2﹣1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）

=（2²﹣1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）

=（2⁴﹣1）（2⁴+1）（2⁸+1）

=（2⁸﹣1）（2⁸+1）

=2¹⁶﹣1

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）=_____．

（2）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）=_____．

（3）化简：（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）．

Answer

232﹣1 ；

【解析】

（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；

（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；

（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．

（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；

（2）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=；

（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．

当m≠n时，原式=（m-n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=；

当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．