Question

图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2cm．将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处(点C在∠AOB的内部或一边上)．

(1)当PC∥QB时，OQ＝　   　cm．

(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时，画出示意图，写出OQ的长．

Answer

(1)2；(2)画图见解析，OQ的长为2cm或cm或2cm．

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠O＝∠CPA，由折叠的性质得出∠C＝∠O，OP＝CP，证出∠CPA＝∠C，得出OP∥QC，证出四边形OPCQ是菱形，得出OQ＝OP＝2cm即可；

（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有3个；依据点C在∠AOB的内部或一边上，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长．

(1)当PC∥QB时，∠O＝∠CPA，

由折叠的性质得：∠C＝∠O，OP＝CP，

∴∠CPA＝∠C，

∴OP∥QC，

∴四边形OPCQ是平行四边形，

∴四边形OPCQ是菱形，

∴OQ＝OP＝2cm；

故答案为：2；

(2)当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ．

因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形．

分三种情况：

①当PQ＝PO时，OQ＝OP＝2cm，

②当QO＝QP时，OQ＝OP＝cm，

③当OQ＝OP时，OQ＝OP＝2cm．

综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为2cm或cm或2cm．