Question

在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连结E₁F₁G₁H₁所得的四边形我们称之为中点四边形如图

（1）    求证：四边形E₁F₁G₁H₁是菱形；

（2）设E₁F₁G₁H₁的中点四边形是 E₂F₂G₂H₂，E₂F₂G₂H₂的中点四边形形是E₃F₃G₃H₃….E_n-1F_n-1G_n-1H_n-1的中点四边形是E_nF_nG_nH_n，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？             （填“有”或“无” ）若有，说出其中的规律性                       

（3）    进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f(0)表示；菱形的中点四边形用f(1)表示，由题（1）知，f(0)=1，那么

么 f(1)=          

Answer

（1）连结AC、BD，证E1F1∥G1H1，且1 E1F1= G1H1，， E1F1=E1H1;（2）有，菱形与矩形交替出现;（3）f(1)=0.

【解析】

（1）利用三角形的中位线性质及矩形的对角线相等即可证明四条边都相等，即得证；

（2）通过观察，发现这两个四边形互为中点四边形；（3）通过总结规律可以得到菱形的中点四边形为矩形.

（1）连接AC，BD，

∵点E1，F1，G1，H1分别是边AB，BC，CD，DA的中点，

∴E1H1=BD,同理F1G1=BD,H1G1=AC,E1F1=AC,

又在矩形ABCD中，AC=BD，

∴E1H1= F1G1= H1G1= E1F1

∴四边形E1F1G1H1是菱形；

（2）有，矩形的中点四边形为菱形，菱形的中点四边形为矩形；

（3）∵矩形的中点四边形为菱形，

即f(0)=1

∴菱形的中点四边形为矩形可表示为f(1)=0.