Question

已知抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣9

（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线对应的函数解析式．

Answer

（1）证明见解析；（2）y＝x2﹣4x﹣5．

【解析】

（1）令y=0，则x2-2mx+m2-9=0，根据根的判别式b2-4ac=（-2m）2-4（m2-9）=36＞0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）直接将C点（0，-5）代入y=x2-2mx+m2-9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可．

（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4m2+36＝36＞0，∴无论m为何值时，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），

∴﹣5＝m2﹣9．

解得：m＝±2．

当m＝﹣2，y＝0时，x2+4x﹣5＝0

解得：x1＝﹣5，x2＝1，

∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），

∴m＝﹣2不符合题意，舍去．

∴m＝2．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5．