Question

如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是_____．

Answer

【解析】

作点P关于直线AB的对称点P′，过点P′G⊥BC，交CB的延长线与点G，在P′G上截取P′M′=MN=3，连M′Q交AB于点M，过点P′作P′N∥M′Q交AB于点N，此时PM+MN+NQ的值最小. 根据作法可得PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′，由此求得P′M ′、 QM ′的长即可求解.

如图，作点P关于直线AB的对称点P′，过点P′G⊥BC，交CB的延长线与点G，在P′G上截取P′M′=MN=3，连M′Q交AB于点M，过点P′作P′N∥M′Q交AB于点N，此时PM+MN+NQ的值最小.

∵P′N∥M′Q，P′M ′∥M N,

∴四边形P′M ′MN为平行四边形，

∴P′N= M ′M，P′M ′=MN=3，

由轴对称的性质可得PN= P′N，AP=A P′=2,

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′,

∵AB= P′G=3，P′M ′=3，AP′=GB=2,

∴GM ′= 3，GQ=7,

在Rt△GQM P′中，由勾股定理可得，QM ′=.

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′=.

故答案为：.