Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．

（1）求证：四边形AFCD是菱形；

（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．

（1）∵AF∥CD，∴∠EAF=∠ECD．

∵E是AC中点，∴AE=EC．

在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∴四边形AFCD是平行四边形．

∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=BD，∴四边形AFCD是菱形．

（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．

∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF=DEBC，∴∠H=∠ECH=∠CEF=90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH=EC=2，EF=CH，BH=CH+BC．

在Rt△BHF中，BF．