Question

如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；

（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）四边形PMEN是菱形；（3）当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形

【解析】

试题

⑴根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可证明.

⑵当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值.

⑶四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必须为90°，那么判断一下△DPC是不是直角三角形即可.

试题解析：

（1）∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，

∴ ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，

∴ ME∥PC，EN∥PD，

∴ 四边形PMEN是平行四边形；

（2）当AP=5时，

在Rt△ PAD和Rt△ PBC中，

，

∴ △ PAD≌ △ PBC，

∴ PD=PC，

∵ M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，

∴ NE=PM=PD，ME=PN=PC，

∴ PM=ME=EN=PN，

∴ 四边形PMEN是菱形；

（3）四边形PMEN可能是矩形．

若四边形PMEN是矩形，则∠ DPC=90°.

设PA=x，PB=10﹣x，

DP=，CP=．

DP2+CP2=DC2

16+x2+16+（10﹣x）2=102

x2﹣10x+16=0

x=2或x=8．

故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．