Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S_△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；

（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．

（1）证明：∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD．

∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB．

∴△ABC∽△FCD；

（2）【解析】
过A作AM⊥CD，垂足为M．

∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，

∴．

∵S△FCD＝5，

∴S△ABC＝20．

又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，

∴AM＝4．

又DM＝CM＝CD，DE∥AM，

∴DE：AM＝BD：BM＝，

∴DE＝ ．