Question

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x²）+2bx+c（1+x²）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b

（1）试判断△ABC的形状；

（2）求sinA+sinB的值．

Answer

（1）△ABC为直角三角形；（2）.

【解析】

（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝，则，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；

（2）由于，3c＝a＋3b，消去a得，变形为（4c−5b）（c−b）＝0，则b＝，a＝，根据正弦的定义得sinA＝，sinB＝ ，所以sinA＋sinB＝，然后把b＝，a＝代入计算即可．

【解析】
（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，

根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC为直角三角形；

（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b

∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，

∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，

∴4c＝5b，即b＝c，

∴a＝3c﹣3b＝c

∵sinA＝，sinB＝，

∴sinA+sinB＝．