Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

Answer

【解析】
（1）由题意，设抛物线的解析式为（a≠0）

∵抛物线经过（0，2）∴，解得：。

∴抛物线的解析式为，即：。

令y=0时，，解得：x=2或x=6。

∴A（2，0），B（6，0）。

（2）存在。

如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小。

∵B（6，0），C（0，2），∴OB=6，OC=2。∴BC=2。

∴AP+CP=BC=2。

∴AP+CP的最小值为2。

（3）如图2，连接ME，

∵CE是⊙M的切线，∴ME⊥CE，∠CEM=90°。

由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE，

∵在△COD与△MED中，，

∴△COD≌△MED（AAS）。∴OD=DE，DC=DM。

设OD=x，则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，

∵在Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，∴，解得x=。

∴D（，0）。

设直线CE的解析式为y=kx+b，

∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，

则，解得：。

∴直线CE的解析式为。

【解析】

试题（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标。

（2）根据轴对称的性质，线段BC的长即为AP+CP的最小值。

（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在Rt△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可。