Question

如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE＝∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；

（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，得到△AEB∽△FED，求得，于是得到AB＝3DF＝3，由正方形的性质得到CD＝AD＝AB＝3，求出CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，通过△ADF∽△GCF，得到，于是得到CG＝2AD＝6，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∵∠BAE＝∠BCE，

∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，

即∠DAE＝∠DCE，

在△AED和△CED中，

，

∴△AED≌△CED（AAS），

∴AD＝CD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴△AEB∽△FED，

∴，

∵AE＝3EF，DF＝1，

∴AB＝3DF＝3，

∴CD＝AD＝AB＝3，

∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，

∵AD∥CG，

∴△ADF∽△GCF，

∴，

∴CG＝2AD＝6，

在Rt△CFG中，GF＝．