Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x²﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣2，0），C（1，0）;（2）k=﹣2;(3)存在，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）(-3,1)．

【解析】

（1）利用分解因式法解一元二次方程x²-3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，-m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑，根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标.

本题解析：（1）x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，

∴x1=1，x2=2，

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．

∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，

∴点E的横坐标为﹣1．

∵点E为直线CD上一点，

∴E（﹣1，2）．

将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．

3.假设存在，

设点M的坐标为（m，﹣m+1），

以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：

①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，

∴B（0，4），

∴BE=AB= ．

∵四边形BEMN为菱形，

当EM= =BE=，

解得：m1=，m2=

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

当BE=BM时有

=

解得m=-1(舍)或m=-2

∴M（-2，3）则N(-3,1)

②以线段BE为对角线时，MB=ME，

∴，

解得：m3=﹣ ，

∴M（﹣， ），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（ ， ）．

综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）(-3,1)．