Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）求弦AC的长；

（3）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）见解析；（2）4；（3）.

【解析】

（1）如图，连接OA，欲证明AB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．

【解析】
（1）证明：如图，连接OA．

∵AB=AC，∠ABC=30°，

∴∠ABC=∠ACB=30°．

∴∠AOB=2∠ACB=60°，

∴在△ABO中，∠BAO=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，

又∵OA是⊙O的半径，

∴AB为⊙O的切线

（2）如图，连接AD．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DAC=90°．

∵由（1）知，∠ACB=30°，

∴

则根据勾股定理知

∴弦AC的长是

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4， 则

∵点O是△ADC斜边上的中点，

∴

根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC

∴图中阴影部分的面积是