Question

（2011•齐齐哈尔）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer

解（1）EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

（2）EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四边形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°，FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC="EM" ，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

又FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG="CG" ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)

∵∠FMC=90°，MF=MD， FG="DG"

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)

【解析】

试题从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC边于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．

【解析】
（1）EG=CG，EG⊥CG．

（2）EG=CG，EG⊥CG．

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四边形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

由图（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，

∴∠EBF=45°，

又∵EF⊥AB，

∴△BEF为等腰直角三角形

∴BE=EF，∠F=45°．

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

又∵FG=DG，

∠CMG=∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∵在△GFE与△GMC中，，

∴△GFE≌△GMC（SAS）．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC.

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．