Question

已知抛物线y＝x²+（k﹣5）x﹣（k+4），

（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）＝﹣8，求二次函数的解析式．

Answer

（1）见解析；（2）y＝x2﹣9．

【解析】

（1）计算判别式且变形得到△＝（k﹣3）2+32，从而得到△＞0，于是判断抛物线与x轴必有两个交点；

（2）利用二次函数与x轴的交点问题和根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（k﹣5），x1•x2＝﹣（k+4），把（x1+1）（x2+1）＝﹣8变形得到（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，求出k即可得到抛物线解析式．

（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4）

＝k2﹣6k+41

＝（k﹣3）2+32，

∵（k﹣3）2≥0，

∴△＞0，

∴抛物线与x轴必有两个交点；

（2）【解析】
根据题意得x1、x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根，

∴x1+x2＝﹣（k﹣5），

x1•x2＝﹣（k+4），

∵（x1+1）（x2+1）＝﹣8，

∴x1•x2+x1+x2+1＝﹣8，

即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9．