Question

如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′．

（1）△P′PB是   三角形，△PP′A是   三角形，∠BPC＝   °；

（2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为   ．

如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1；

（3）求∠BPC度数的大小；

（4）求正方形ABCD的边长．

Answer

（1）等边 直角 150°；（2）；（3）135°；（4） .

【解析】

（1）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，

（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，进而求出等边△ABC的边长为 ，问题得到解决．

（3）求出，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，关键勾股定理即可求出AB．

【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，

∴

∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等边三角形，

∴

∵AP′＝1，AP＝2，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；

（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，

∴

由勾股定理得：

∴

由勾股定理得：

故答案为：（1）等边；直角；150；；

（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，

∴，

由勾股定理得：EP＝2，

∵

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；

（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；

∴∠FEB＝45°，

∴FE＝BF＝1，

∴AF＝2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；

∴∠BPC＝135°，正方形边长为．

答：（3）∠BPC的度数是135°；

（4）正方形ABCD的边长是．