Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；

（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S₁，S₂，且S₁：S₂=4：5，求k的值．

Answer

（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）

【解析】（1）利用待定系数法即可得出结论；

（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；

（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y=kx+1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．

（1）∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x-3，

∴C（0，-3），

∴x2+2x-3=-3，

∴x=0或x=-2，

∴D（-2，-3），

∵A（-3，0）和点B（1，0），

∴直线AD的解析式为y=-3x-9，直线BD的解析式为y=x-1，

∵直线y=m（-3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，

∴G（-m-3，m），H（m+1，m），

∴GH=m+1-（-m-3）=m+4，

∴S矩形GEFH=-m（m+4）=-（m2+3m）=-（m+）2+3，

∴m=-，矩形GEFH的最大面积为3．

（3）∵A（-3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，-3），D（-2，-3），

∴CD=2，

∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，

∵S1：S2=4：5，

∴S1=4，

如图，

设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，

∴M（-，0），N（-，-3），

∴AM=-+3，DN=-+2，

∴S1=（-+3-+2）×3=4，

∴k=