Question

在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．

（1）当点C在线段BD上时，

①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为________；

②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；

（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系，不用证明．

Answer

（1）①图见解析；②证明见解析；（2）AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF.）

【解析】

试题

（1）①按要求补全图形如图3，由已知条件易证△ABD是等边三角形，再证△DBE≌△DAF，可得BE=AF，从而可得AE=BF；②如图2，在BE上截取BG＝BD，连接DG，易证△GBD、△ABC都是等边三角形，再证△DGE≌△DBF即可得到所求结论；

（2）如图5、图6，当点C在BD延长线上时，需分点A在线段BE上和线段BE的延长线上两种情况分析讨论，由已知条件易证△CAB和△DGB都是等边三角形，由此易得DC=AG；再证△DGE≌△DBF可得DG=BF，即可得到DC、AE、BF间的数量关系.

（1）①补全图形如图3所示：

∵BA=BC，∠EBD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠DAB=∠DBA=60°，DB=DA，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DBE≌△DAF，

∴BE=AF，

∴BE-AB=AF-AB，即AE＝BF；

②如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG

∵∠EBD＝60°，BG＝BD，

∴△GBD是等边三角形．

同理，△ABC也是等边三角形．

∴AG＝CD.∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F.

又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，

∴∠DGE＝∠DBF＝120°.

∴△DGE≌△DBF，

∴GE＝BF，

∴AE＝BF＋CD.

（2）如图5、图6，当点C在BD延长线上时，需分点A在线段BE上和线段BE的延长线上两种情况分析讨论，

①当点A在线段BE上时，在线段BE上截取BG=BD，连接DG，

∵∠DBE=60°，BA=BC，BG=BD，

∴△CBA、△DBG都是等边三角形，BA-BG=BC-BD，

∴∠DGB=∠DBG=60°，AG=CD，

∴∠DGE=∠DBF，

∵DE=DF，

∴∠E=∠F，

∴△DGE≌△DBF，

∴GE=BF，

∴AE=GE-AG=BF-CD；

②同理，如图6，可得AE=CD-BF；

综上所述，当点C在线段BD的延长线上时，AE＝BF－CD（或AE＝CD－BF）.