Question

已知：△ABC是等边三角形．

（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；

（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．

Answer

（1）BF=CF；理由见解析；（2）40°或20°

【解析】试题（1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE，由等角对等边即可得出BF=CF．

（2）设∠BCD=∠CBE=x，则∠DBF=60°-x，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB>∠A，证出∠FBD<60°，得出FD=FB的情况不存在；②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出结果；③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．

试题解析：（1）BF=CF；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

在△BCD和△CBE中， ，

∴△BCD≌△CBE（SAS），

∴∠BCD=∠CBE，

∴BF=CF．

（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，

设∠BCD=∠CBE=x，

∴∠DBF=60°﹣x，

若△BFD是等腰三角形，分三种情况：

①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，

∴∠FBD=∠FDB＞60°，

但∠FBD＞∠ABC，

∴∠FBD＜60°，

∴FD=FB的情况不存在；

②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，

∴60°﹣x=2x，

解得：x=20°，

∴∠FBD=40°；

③若BD=BF，如图所示：

则∠BDF=∠BFD=2x，

在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，

∴60°﹣x+2x+2x=180°，

解得：x=40°，

∴∠FBD=20°；

综上所述：∠FBD的度数是40°或20°.