Question

如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）36

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形ABEF是平行四边形，然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形，证得结论；

（2）过点A作AH⊥BC于点H．根据菱形的对角线求出边长，然后根据面积的不变性求出平行四边形的高，从而求解.

试题解析：（1）证明：∵在□ABCD中，

∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE＝∠BAE．

∴∠BAE＝∠AEB．

∴AB＝BE．

同理AB＝AF．

∴AF＝BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB＝BE．

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解法一：过点A作AH⊥BC于点H．

∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，

∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．

∵S菱形ABEF＝AEBF＝BEAH，∴AH＝×6×8÷5＝．

∴S□ABCD＝BCAH＝(5＋)×＝36．

解法二：∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，

∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．

∵S菱形ABEF＝AEBF＝×6×8＝24，

∵CE＝，BE＝5，

∴S□ABCD＝S菱形ABEF ＝×24＝36．