Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、.点的坐标是，抛物线经过、两点且交轴于点.点为轴上一点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，连结，设点的横坐标为.

（1）求点的坐标.

（2）求抛物线的表达式.

（3）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值.

Answer

（1）；（2）；（3），，.

【解析】

（1）令y=0，代入直线即可求解；

（2）代入A和C点坐标，联立方程组即可求解抛物线解析式；

（3）令x=0，代入直线可求解B点坐标.已知点的横坐标为，则可分别写出M和Q的含m的坐标，再由平行四边形的性质可知BD=MQ，据此即可求解.

（1）令y=0，代入直线可得，x=4，故；

（2）代入A和C点坐标至抛物线解析式，联立可得：

解得

即，.

（3）点的横坐标为，则可得，，

则可得，.

令x=0，代入直线可得y=2，即B（0,2），

令x=0，代入抛物线可得y=-2，即D（0,-2），

则BD=4，

由平行四边形的性质可知BD=MQ，则：

，

当时，解得：（舍），；

当=4时，解得：，.

故，，.