Question

如图，已知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间.

（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD;

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG.

①如图2，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG,求∠AHF的度数；

②如图3，若FH平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）①45°；②∠AHF=90°+∠AEC（或2∠AHF-∠AEC=180°），理由见解析.

【解析】

（1）过E作EF∥AB，可得∠A=∠AEN，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EN与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；
（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数,再由∠AEC=90°，根据角的关系易得∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及（1）中结论即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．

（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，

∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，
又CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，
∴∠BAH=∠EAH=45°-x，
如图2，过点H作l∥AB，

易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；
②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，
如图3，过点H作l∥AB，

易证∠AHF-y+∠CFH=180°，
即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°．）