Question

如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，其中一个角叫另一个角的垂角．

(1)如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，直接写出图中∠BOE的垂角为　   　；

(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；

(3)如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜180)，直线AB旋转到A₁B₁，OC旋转到OC₁，作射线OP，使∠BOP＝∠BOB′，试直接写出当n＝　   　时，∠POA₁与∠AOC₁互为垂角．

Answer

(1)∠DOB，∠EOC；(2)这个角的度数为18或126度；(3)30.

【解析】

（1）根据互为垂角的定义即可求解；

（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；

（3）分0＜n＜75，75＜n＜90两种情况讨论可得n的值．

(1)∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC互为垂角的角，

∴图中∠BOE的垂角为∠DOB，∠EOC，

故答案为：∠DOB，∠EOC；

(2)设这个角的度数为x度，则

①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意有

90+x＝(180﹣x)，

解得x＝18；

②当90＜x＜180时，它的垂角是x﹣90度，依题意有

x﹣90＝(180﹣x)，

解得x＝126；

故这个角的度数为18或126度；

(3)当n＝75时OC′和OA重合，分两种情况：

①当0＜n＜75时，∠COC′＝n°，∠AOC′＝75°﹣n°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(75﹣n)|＝90，

∵0＜n＜75，

∴n＝30；

②当75＜n＜90时，∠AOC′＝n°﹣75°，

∠POB＝∠BOB′＝n°，

∠A′OP＝180°﹣(∠POB+∠BOB′)＝180°﹣n°，

∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，

∴|(180﹣n)﹣(n﹣75)|＝90，

解得n＝66或138，

∵75＜n＜90，

∴n＝66或138舍去；

综上所述；n＝30时，∠POA′与∠AOC′互为垂角，

故答案为：30．