Question

已知，O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．

如图1，若，求的度数；

在图1中，若，直接写出的度数用含a的代数式表示；

将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．

探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

在的内部有一条射线OF，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由．

Answer

（1）15°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；②4∠DOE－5∠AOF＝180°.

【解析】

试题(1)由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；

(2)由(1)可得出结论∠DOE=∠AOC，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数；

(3)①由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2(90°-∠DOE)，从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；

②设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，从而得出结论．

【解析】
(1)由已知得∠BOC＝180°－∠AOC＝150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE＝∠COD－∠BOC＝90°－×150°＝15°.

(2)∠DOE＝a. 解析：由(1)知∠DOE＝∠COD－∠BOC＝90°，∴∠DOE＝90°－ (180°－∠AOC)＝∠AOC＝α.

(3)①∠AOC＝2∠DOE.理由如下：

∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，

∴∠COE＝∠BOE＝90°－∠DOE，

∴∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－2∠COE＝180°－2(90°－∠DOE)，∴∠AOC＝2∠DOE.

②4∠DOE－5∠AOF＝180°.

理由如下：设∠DOE＝x，∠AOF＝y，

∴∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y，2∠BOE＋∠AOF＝2(90°－x)＋y＝180°－2x＋y，

∴2x－4y＝180°－2x＋y，即4x－5y＝180°，

∴4∠DOE－5∠AOF＝180°.