Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.

【解析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得函数解析式；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．

（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得

A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），

把C点坐标代入函数解析式，得

a（0+3）（0﹣1）=3，

解得a=﹣1，

抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），

则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△AEF∽△AQP，

∴，

∴EF==；

又∵PQ∥EG，

∴△BEG∽△BQP，

∴，

∴EG===2（t+3），

∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．