Question

如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S_△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．

（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S_△PQM=S_△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

Answer

（1）coaA=；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=•AC•BE=，

∴BE=，

在Rt△ABE中，AE=，

∴coaA=．

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，

∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，

∵S△PQM=S△QCN，

∴•PQ2=•CQ2，

∴9t2+（9-9t）2=×（5t）2，

整理得：5t2-18t+9=0，

解得t=3（舍弃）或．

∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．

（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴PH=HQ，

∴3t=（9-9t），

∴t=．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=QH，

∴3t=（9t-9），

∴t=，

综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．