Question

如图①，在矩形中，动点从出发，以相同的速度，沿 方向运动到点处停止.设点运动的路程为, 面积为，与的函数图象如图②所示.

(1)矩形的面积为        ;

(2)如图③，若点沿边向点以每秒1个单位的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以每秒2个单位的速度移动.如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题:

①当运动开始秒时，试判断的形状;

②在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，的长为半径的圆与矩形的对角线相切，若存在，求出运动时间;若不存在，请说明理由.

Answer

(1)72；(2)①为直角三角形；②不存在

【解析】

(1)通过图形可以求出矩形的长和宽，然后计算矩形的面积；

(2)①通过速度，可计算出PD、PQ、DQ的长，然后建立勾股定理，可得△PDQ为直角三角形；

②过Q作QM⊥AC，通过计算QM和PQ的长，利用两条线段长度相等，可列出方程，计算方程的解就是运动时间；若方程无解，则情况不成立.

【解析】
(1)由图象②可得长方形的长和宽为12和6，则面积为：12×6=72；

(2)①由题意可知：AP=，BP=，BQ=3，CQ=9

∴在Rt△APD中：

在Rt△BPQ中：

在Rt△CDQ中：

∵即：

∴△DPQ为直角三角形

②不存在.理由：假设存在，连接AC，过点Q作QM垂直于AC垂足为点M.

则QM=PQ，即得：

即

化简得：

∵△<0

∴此方程无解，即不存在