Question

已知二次函数的图象与轴分别交于点、(在左侧)，与轴交于点，若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为.

(1)原抛物线的函数解析式是             .

(2)如图①，点是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点的坐标;

(3)如图②，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer

(1)；（2）最大值，点P的坐标(,)；(3)点M的坐标：(,)或(,)

【解析】

(1)根据题意可推导出原抛物线的顶点坐标，然后再求出抛物线的解析式；

(2)过P作x轴的垂线交BC于N，则△PBC的面积分成△PNC和△PNB的面积之和，设出P的坐标，则△PBC的面积与P的坐标可建立函数关系式，进行求解即可；

(3)分类讨论并设出M的坐标，表示出MQ和MC的长，建立方程，求解即可.

【解析】
(1)由题知，原抛物线的顶点坐标为(3,-4)

设原抛物线的解析式为

则

∴即

（2）如图，过P作x轴的垂线交BC于N

令，则

∴即B(5,0)，A(1,0)

令，则

∴C(0,5)

∴直线BC的解析式为

设P(,),则N(，)

∴PN=

∴

由二次函数性质可知：当时，有最大值，且最大值为

此时P(,)

（3）①如图所示，当∠BQM=90°时

设Q(,0)，则M(,)

则BQ=MQ=

∴BM=

又BC=

∴CM=

∵△CMQ为等腰三角形

∴=

解得：

此时M(,)

②如图所示：当∠BMQ=90°时

若△CMQ为等腰三角形，则△BMQ也为等腰三角形，则CM=BM=QM

此时M为BQ的中点

由(1)知：B(5,0)，C(0,5)

∴M(,)

综上所述，满足要求的点M的坐标为(,)或M(,)