Question

在平面直角坐标系上，已知点A（8，4），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，直线y＝x交AB于D．

（1）直接写出B、C、D三点坐标；

（2）若E为OD延长线上一动点，记点E横坐标为a，△BCE的面积为S，求S与a的关系式；

（3）当S＝20时，过点E作EF⊥AB于F，G、H分别为AC、CB上动点，求FG+GH的最小值．

Answer

（1）B（0，4），C（8，0），D（4，4）．（2）S＝6a﹣16．（3）2

【解析】

（1）首先证明四边形ABOC是矩形，再根据直线y＝x是第一象限的角平分线，可得OB＝BD，延长即可解决问题；

（2）根据S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC计算即可解决问题；

（3）首先确定点E坐标，如图二中，作点F关于直线AC的对称点F′，作F′H⊥BC于H，交AC于G．此时FG+GH的值最小；

【解析】
（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，

∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，

∴四边形ABOC是矩形，

∵A（8，4），

∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，

∴B（0，4），C（8，0），

∵直线y＝x交AB于D，

∴∠BOD＝45°，

∴OB＝DB＝4，

∴D（4，4）；

（2）由题意E（a，a），

∴S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC＝×4×a+×8×a﹣×4×8＝6a﹣16；

（3）当S＝20时，20＝6a﹣16，

解得a＝6，

∴E（6，6），

∵EF⊥AB于F，

∴F（6，4），

如图二中，作点F关于直线AC的对称点F′，作F′H⊥BC于H，交AC于G．此时FG+GH的值最小．

∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，

∴△ABC∽△HBF′，

∴，

∵AC＝4，BC＝＝4，BF′＝AB+AF′＝8+2＝10，

∴，

∴F′H＝2，

∴FG+GH的最小值＝F′H＝2．