Question

已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°．

（1）如图①求证：BE+DF＝EF；

（2）连接BD分别交AE、AF于M、N，

①如图②，若AB＝6，BM＝3，求MN．

②如图③，若EF∥BD，求证：MN＝CE．

Answer

（1）证明见解析；（2）①5；②证明见解析.

【解析】

（1）延长CB到G，使GB＝DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠3＝∠2，AG＝AF，进而求证△AGE≌△AFE，可得GB+BE＝EF，所以DF+BE＝EF．

（2）①如图2，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM′，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM＝∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN＝M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2＝DN2+BM2；

②设正方形ABCD的边长为a，求出MN，EC即可判断；

（1）证明：证明：延长CB到G，使GB＝DF，连接AG（如图1），

∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠3＝∠2，AG＝AF，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠1+∠2＝45°，

∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，

∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，

∴△AGE≌△AFE（SAS），

∴GB+BE＝EF，

∴DF+BE＝EF；

（2）①【解析】
如图2，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠ABM＝∠ADN＝45°．

把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．

∴△ABM≌△ADM′（旋转不变性），

∴DM'＝BM，AM'＝AM，∠ADM'＝∠ABM＝45°，∠DAM'＝∠BAM．

∴∠ADB+∠ADM′＝45°+45°＝90°，

即∠NDM′＝90°．

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAM+∠DAN＝45°，

∴∠DAM′+∠DAF＝45°，

即∠M′AN＝45°，

∴∠M'AN＝∠MAN．

在△AMN和△AM′N中

，

∴△AMN≌△AM′N（SAS），

∴M'N＝MN．

∵∠NDM′＝90°，

∴M'N2＝DN2+DM'2，

∴MN2＝DN2+BM2；

设MN＝x，则DN＝12﹣3﹣x＝9﹣x，

∴x2＝33+（9﹣x）2，

∴x＝5，

∴NM＝5；

②证明：如图3中，设正方形ABCD的边长为a．

∵EF∥BD，

∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°，

∴∠CEF＝∠CFE＝45°，

∴CE＝CF，

∴BE＝DF，

∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE＝∠DAF＝22.5°，

∴∠AEB＝∠BME＝67.5°，

∴BM＝BE，同理可证：DN＝DF，

∴BM＝DN＝BE＝DF，设BM＝x，则MN＝x，

∴2x+x＝a，

∴x＝（﹣1）a，

∴MN＝（2﹣）a，EC＝BC﹣BE＝（2﹣）a，

∴MN＝EC．