Question

如图，在△中，，为斜边上的中点，连接，以为直径作⊙，分别与、交于点、．过点作⊥，垂足为点.

（1）求证：为⊙的切线；

（2）连接，若，，求的长．

Answer

（1）见解析（2）5

【解析】

（1）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．

（2）想办法证明四边形DMCN是矩形即可解决问题．

（1）连接ON．

∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，∴CD=DA=DBAB，∴∠BCD=∠B．

∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB．

∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．

（2）由（1）得到：∠BCD=∠B，∴sin∠BCD=sin∠B．

∵NE=3，∴BN=5．

连接DN．

∵CD是⊙O的直径，∴∠CND=90°，∴DN⊥BC，∴CN=BN=5，易证四边形DMCN是矩形，∴MD=CN=BN=5．