Question

已知，在中，，，D是AB上的一点不与点A，B重合，连接CD，以点C为中心，把CD顺时针旋转，得到CE，连接AE．

如图1，求证：；

如图2，若，点G为BC上一点，连接GD并延长，与EA的延长线交于点H，且，连接DE与AC相交于点F，请写出图2中所有正切值为2的角．

Answer

（1）证明见解析；（2），，．

【解析】

(1)由已知可知∠B=∠CAB=45°，由旋转可证△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质可得∠CAE=∠B=45°，从而得∠EAD=90°；

(2)取DE的中点O，连接AO，CO，作DN⊥BC于N，GM⊥BD于M，可知A、D、C、E四点共圆，得到∠AED=∠ACD，由tan∠AED=和AE=BD，AD=2BD，即可得到∠AED和∠ACD的正切值为2；由tan∠HGC=3得到DN=3GN，设GN=a，则DN=BN=3a，BG=2a，BD= a，BM=GM=a，从而tan∠DGM=∠H=2.

证明：如图1中，

，，

，

，

，

，，

≌，

，

．

【解析】
如图2中，取DE的中点O，连接AO，CO，作于H，于M．

，，

，

，D，C，E四点共圆，

，

，，

．

，设，则，，，，

，

，

，，，

，

，

满足条件的角有，，．

故答案为：(1)证明见解析；(2)∠AED，∠ACD，∠H.