Question

我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几 何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a 和b 表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|利用此结论，回答以下问题：

(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是        ，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两 点之间的距离是           ，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是               ；

(2)数轴上表示x和﹣5 的两点A、B之间的距离是           ，如果|AB|＝3，那 么x的值为                 ；

(3)当代数式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？

(4)已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b﹣1)²＝0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．

Answer

(1)4；4；5；(2)；-8或-2；(3)x的范围是；最小值是4；(4)x的值为.

【解析】

（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．

（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当x在1和3之间时有最小值．

（4）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题．

（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．

（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，如果|AB|=3，那么x为﹣8或﹣2．

（3）代数式|x﹣1|+|x+3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．

故当﹣3≤x≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．

（4）①当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．

②当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2，∴上述两种情况的点P不存在．

③当P在A、B之间时，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x．

∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2，∴x，即x的值为．

故答案为：（1）4；4；5．

（2）|x+5|；﹣8或﹣2．

（3）x的范围是﹣3≤x≤1；最小值是4．

（4）x的值为-.