Question

如图，矩形ABCD，，，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且，点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将沿着EF所在的直线折叠，将沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点以下结论中：

；；∽；四边形MNCD是正方形；其中正确的结论是　　

A.  B.  C.  D.

Answer

B

【解析】

由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．

∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，

∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，

∴∠GFN+∠CFN＝90°，

∴∠NFE＝90°，

∴EF⊥NF；故①正确；

连接AN，

∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，

∴∠ANM＝∠ENM，

∴∠ANB＝∠CNE，

而四边形ABNM不是正方形，

∴∠ANB≠∠ANM，

∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；

∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，

∴∠DFE≠∠NEM，

∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；

设DE＝x，

∴BN＝AM＝ ，

∴CN＝14﹣BN＝ ，

∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，

∴∠DEF＝∠CFN，

∵∠D＝∠C＝90°，

∴△DEF∽△CFN，

∴ ，

∵F是CD的在中点，

∴CF＝DF＝4，

∴ ，

∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），

∴DE＝2，CN＝8，

∴CD＝CN，

∴四边形MNCD是正方形；故④正确；

∵CN＝DM＝8，

∴AM＝6，故⑤错误，

故选：B．