Question

如图，在矩形ABCD中，，，点E是边BC的中点动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．

当时，______；

是否存在这样的t值，使为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；

当t为何值时，的面积等于10？

Answer

（1）；（2）存在，，见解析；（3）．

【解析】

（1）由题意得出AP＝1，BP＝3，BE＝CE＝1，利用勾股定理求得PE＝，根据正弦函数的定义可得答案；

（2）证△BPE∽△CEF得 ，据此求得CF＝ ，DF＝ ，再证△ECF∽△QDF得 ，据此求得DQ＝15﹣4t，AQ＝17﹣4t，根据△APQ为等腰直角三角形列方程求解可得答案；

（3）根据S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE＝2t2﹣16t+34及△PEQ的面积等于10列方程求解可得．

【解析】
根据题意知，当时，，

则，

，点E是边BC的中点，

，

则，

在中，，

故答案为：；

存在，．

如图，记QE与CD的交点为F，

由题意知，，

四边形ABCD是矩形，，，

，，，

，

，

，

，

∽，

，即，

，

，

，，

∽，

，即，

，

则，

为等腰直角三角形，

，即，

解得，

故当时，为等腰直角三角形．

，

由题意知，

解得或，

，

．