Question

如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是，点B的坐标为

抛物线的解析式是______；

若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当时，求出点P的坐标；

若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）点坐标为；（3）在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形，见解析.

【解析】

（1）利用抛物线对称性得到点A（ ，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；

（2）如图，∠ABP＝2∠ABC，直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，DH⊥BE于H，则∠ABC＝∠ABD，∠ABD＝∠PBD，则OD＝DH＝2，设DE＝t，利用相似比表示出EH＝1+t，根据勾股定理得到22+（1+t）2＝t2，解得t1＝﹣2，t2＝ ，从而得到E（0， ），利用待定系数法得直线BE的解析式为y＝x﹣，然后解方程组 得P点坐标；

（3）若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形；若BC为边，则CN∥BM，则CN＝ ，而BC＝2，利用BC≠CN可判断点B，C，M，N构成的四边形不可能为菱形．

【解析】
点A与点关于直线是，

点，

抛物线解析式为，

即；

故答案为；

如图，，

直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，于H，

则，

，

，

当时，，则，

，

设，

，

∽，

，即，则，

在中，，解得，，

，

，

设直线BE的解析式为，

把，代入得，

直线BE的解析式为，

解方程组得或，

点坐标为；

在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形．

理由如下：

若BC为对角线，易得点B，C，M，N构成的四边形不是菱形；

若BC为边，则，则，而，所以点B，C，M，N构成的四边形不可能为菱形．