Question

如图，抛物线 y= x²+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C、D 两点，已知 C（-3，0）.

（1）求抛物线的解析式

（2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB 一 MD|的值最大。请求出点 M 的坐标及这个最大值.

Answer

（1）；（2）的最大值为.

【解析】

（1）根据点A在y轴上，且在直线 y=x+3上，求出点A的坐标，再利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性可得点D与点C关于对称轴对称，则MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线时取最大值，根据两点间的距离公式，可得答案；

【解析】
（1）∵点 A 在 y 轴上，且在直线 y= x+3上，

∴A（0,3），

将A（0,3），C（-3，0）代入函数解析式，得

解得

∴抛物线的解析式为.

（2）抛物线的对称轴为.

由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，

∴对l上任意一点M都有MD=MC.

∴当点B，C，M共线时，取最大值，最大值即为BC的长.

联立方程组

解得或.

∵A（0,3），

∴B（-4,1）

设直线BC的解析式为，

∴，

解得.

∴直线BC的解析式为，

∴将代入，解得.

∴点M的坐标为（），

∵B（-4,1），C（-3，0）.

∴BC==

∴的最大值为.