Question

已等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°．连接CE．

(1)如图，求证：△ACE≌△ABD；

(2)点D运动时，∠BCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；

(3)若AC＝，当CD＝1时，请直接写出DE的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠BCE的度数不变，为90°；(3)DE的长为或．

【解析】

（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；
（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
（3）可分点D在线段BC上时（如图1）和点D在线段BC延长线上时（如图2）两种情况讨论，在Rt△ABC中运用勾股定理可求出BC，从而得到BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，在Rt△DCE中运用勾股定理就可求出DE．

【解析】
(1)∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△ACE和△ABD中，

,

∴△ACE≌△ABD；

(2)∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠ABD＝45°，

∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；

∴∠BCE的度数不变，为90°；

(3)①点D在线段BC上时，如图1，

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，

∴BC＝4．

∵CD＝1，

∴BD＝3．

∵△ACE≌△ABD，

∴CE＝BD＝3．

∵∠BCE＝90°，

∴DE＝＝＝；

②点D在线段BC延长线上时，如图2，

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，

∴BC＝4．

∵CD＝1，

∴BD＝5．

∵△ACE≌△ABD，

∴CE＝BD＝5．

∵∠BCE＝90°，

∴∠ECD＝90°，

∴DE＝＝＝．

综上所述：DE的长为或．