Question

柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．

（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；

（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？

Answer

（1）平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30；（2）每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元．

【解析】

（1）每亩种植株数为x时，则每亩增加了（x-100）株，根据平均株产量等于20减去0.1乘以每亩增加株数即可得到平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．

（1）由题意可得，

y＝20﹣0.1（x﹣100）＝﹣0.1x+30，

即平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30；

（2）设每亩的利润为w元，

w＝40x（﹣0.1x+30）﹣30000＝﹣4x2+1200x﹣30000＝﹣4（x﹣150）2+60000，

∴当x＝150时，w取得最大值，此时w＝60000，

答：每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元．