Question

定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）²+k的关联直线．

（1）求抛物线y＝x²+6x﹣1的关联直线；

（2）已知抛物线y＝ax²+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；

（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）²+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．

Answer

（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.

【解析】

（1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；

（2）由题意可得a=2，c=3，设抛物线的顶点式为y=2（x-m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；

（3）由题意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．

【解析】
（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，

∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7；

（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，

∴a＝2，c＝3，

可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，

则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，

∴，

解得或，

∴抛物线解析式为y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；

（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），

∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，

显然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，

当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，

当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=，

∵抛物线的顶点在第一象限，

∴a＞0，即a=1或a=.