Question

如图，是的内接三角形，AB为直径，，，点D为线段AC上一动点，过点D作AB的垂线交于点E，交AB于点F，连结BD，CF，并延长BD交于点H．

求的半径；

当DE经过圆心O时，求AD的长；

求证：；

求的最大值．

Answer

（1）5；（2）；（3）见解析；（4）当时，为最大值

【解析】

由AB是直径知，依据及勾股定理求解可得；

由知，结合为公共角可证∽得，据此可得；

由∽知，结合为和的公共角可证∽，依据相似三角形的性质可得答案；

连接CH，先证∽得，即，再设，则，，从而得出，利用二次函数的性质求解可得．

【解析】
为直径，

，

，

，

由勾股定理：；

，

，

为和的公共角，

∽，

，

；

由可得∽，

，即，

又为和的公共角，

∽，

；

连结CH，

由知∽，

，

，

，

又，

∽，

，即，

设，则，，

，

当时，为最大值．