Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　   　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；

（3）设AE＝m，

①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．

Answer

（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为或3或12﹣6．.

【解析】

（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；

（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；

（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴AC＝，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，

∴∠AHC＝∠ACG．

故答案为＝．

（2）结论：AC2＝AG•AH．

理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，

∴△AHC∽△ACG，

∴，

∴AC2＝AG•AH．

（3）①△AGH的面积不变．

理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．

∴△AGH的面积为16．

②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，

∵BC∥AH，

∴,

∴AE＝AB＝．

如图2中，当CH＝HG时，

易证AH＝BC＝4，

∵BC∥AH，

∴＝1，

∴AE＝BE＝3．

如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．

在BC上取一点M，使得BM＝BE，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，

∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，

∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EMm，

∴m+m＝6，

∴m＝6（﹣1），

∴AE＝6﹣6（﹣1）＝12﹣6，

综上所述，满足条件的m的值为或3或12﹣6．