Question

如图，直线y=﹣x+b与反比例函数的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．

（1）求k和b的值；

（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）b=5，k=4（2）x＞4或0＜x＜1（3）P（0，3）或P（0，﹣3）

【解析】

试题（1）由待定系数法即可得到结论；

（2）根据图象中的信息即可得到结论；

（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

试题解析：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和

得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；

（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，

（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，

由（1）知，b=5，k=4，

∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：

由，解得：x=4，或x=1，

∴B（4，1），

∴，

∵，

∴，

过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），

∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，

解得：t=3，t=﹣3，

∴P（0，3）或P（0，﹣3）．