Question

如图1，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．

（1）写出D的坐标和直线l的解析式；

（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+3；（2）；（3）点Q的坐标为（，0）或（4，0）．

【解析】试题（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；

（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+x（1≤x≤3），再利用而此函数的性质求S的最大值；

（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点间的距离公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后证明NM=CM得到|t2-t|=t，再解绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．

试题解析：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），

当x=0时，y=-x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线l的解析式为y=kx+b，

把C（0，3），E（4，0）分别代入得，解得，

∴直线l的解析式为y=-x+3；

（2）如图（1），当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

设直线BD的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），D（1，4）分别代入得，解得，

∴直线BD的解析式为y=-2x+6，

则P（x，-2x+6），

∴S= （-2x+6+3）x=-x2+x（1≤x≤3），

∵S=-（x-）2+，

∴当x=时，S有最大值，最大值为；

（3）存在．

如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），

∴MN=|-t2+2t+3-（-t+3）|=|t2-t|，

CM==t，

∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，

而QN∥y轴，

∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴∠M′CN=∠CNM′，

∴CM′=NM′，

∴NM=CM，

∴|t2-t|=t，

当t2-t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；

当t2-t=-t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），

综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．